题解 P3043 【[USACO12JAN]牛联盟Bovine Alliance】

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$Description$

给出$n$个点$m$条边的图,每条边找一个配对的点，要求边$(u,v)$配对的点是$u$或$v,$且每个点最多只能被一条边配对，求不同方案数

$ps:$题面的翻译不太准确，上面的翻译来自讨论,并稍加补充

$Solution$

先给出一组$hack$数据

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input:
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ouput:
0

有好几篇题解会被$hack,$原因是没有判在一个联通块中边数大于点数的情况

我们先$dfs$找出每个联通块，并算出这个联通块中的点数$po$与边数$ed,$然后分类讨论，最后利用乘法原理乘起来

$1.po>ed:$由于是联通块，所以只能是$po=ed+1$,即是一棵树。这种情况下我们在$po$个点中找$ed$个点去匹配，无论怎么选都是合法的，所以贡献即是$C_{po}^{ed}=C_{po}^{po-1}=po$

$2.po==ed:$即一个环的情况，只有顺时针选和逆时针选两种情况，所以贡献即是$2$

$3.po<ed:$这种情况下无论怎么选都不合法，所以贡献为$0$

$Code$

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define N 200700
using namespace std;
struct edge{
    int to,next;     
}e[N];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
int cnt,head[N],vis[N],po,ed,ans=1;
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    ++po;
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next,++ed){
        int v=e[i].to;
        if (!vis[v])
            dfs(v);
    }
}
signed main(){ 
    int n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int u=read(),v=read();
        add(u,v);add(v,u);
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (!vis[i]){
            po=ed=0;
            dfs(i);
            ed/=2;
            if (po>ed)ans=ans*po%mod;
            if (po==ed)ans=ans*2%mod;
            if (po<ed)ans=0;
        }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}